空间点到直线的距离公式

空间点\(Q(x_1, y_1, z_1)\)与过点\(P_0(x_0, y_0, z_0)\)且方向向量为\(\vec{v} = (a, b, c)\)的直线之间的距离公式，可以通过向量叉乘的方法巧妙推导得出。

我们采用向量叉乘方法来求解。向量\(\overrightarrow{P_0Q}\)从点\(P_0\)到点\(Q\)的坐标可以表示为\((x_0 - x_1, y_0 - y_1, z_0 - z_1)\)。我们将此向量与方向向量\(\vec{v}\)进行叉乘，得到如下结果：

\(\overrightarrow{P_0Q} \times \vec{v} = \left|\begin{array}{ccc}\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ x_0 - x_1 & y_0 - y_1 & z_0 - z_1 \\ a & b & c \end{array}\right|\)

叉乘的结果是一个向量，其分量形式为：\((b(z_0 - z_1) - c(y_0 - y_1), c(x_0 - x_1) - a(z_0 - z_1), a(y_0 - y_1) - b(x_0 - x_1))\)。

接下来，我们计算叉乘结果的模长，公式为：\(\sqrt{\left[b(z_0 - z_1) - c(y_0 - y_1)\right]^2 + \left[c(x_0 - x_1) - a(z_0 - z_1)\right]^2 + \left[a(y_0 - y_1) - b(x_0 - x_1)\right]^2}\)。

然后，我们需要知道方向向量\(\vec{v}\)的模长，公式为\(\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\)。

点到直线的距离公式就是叉乘结果的模长除以方向向量的模长。公式为：\(d = \frac{\sqrt{\left[b(z_0 - z_1) - c(y_0 - y_1)\right]^2 + \left[c(x_0 - x_1) - a(z_0 - z_1)\right]^2 + \left[a(y_0 - y_1) - b(x_0 - x_1)\right]^2}}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}\)。

这一距离公式犹如一颗璀璨的明珠，闪耀在几何学的殿堂中。它巧妙地将空间点与直线之间的关系转化为简单的数学表达式，为我们提供了计算空间点到直线距离的便捷方法。