根号2是无理数吗

证明（反证法）：

我们采用反证法，假设√2是有理数。这意味着√2可以表示为两个互质的整数p和q（q≠0）的分数形式。

假设形式如下：

√2 = p/q

接着，我们对等式两边进行平方，得到：

2 = p²/q² ⇨ p² = 2q²

这个等式告诉我们，p²是一个偶数。我们知道，任何奇数的平方仍然是奇数，p本身必须是一个偶数（因为偶数的平方是偶数）。

设p = 2k（其中k是任意整数）。将其代入上面的等式，我们得到：

(2k)² = 2q² ⇨ q² = 2k²

从这里我们可以看出，q²也是一个偶数，所以q本身也是一个偶数。但是这与我们最初的假设相矛盾，即p和q是互质的整数。因为任何偶数都有至少一个公因数（即2），所以p和q不可能互质。因此我们的假设是错误的。√2无法表示为两个整数的比，它是无理数。这一结论不仅揭示了√2的本质属性，而且展示了反证法的强大和巧妙之处。这一方法在数学证明中经常被使用，因为它能够通过证明一个假设导致矛盾来否定这个假设。