arcsinx的原函数

深入这一数学问题，我们发现当我们arcsinx的原函数时，其实是在寻找一种数学上的转化与整合。设u = arcsinx，dv = dx，通过分部积分的公式，我们开始这一问题的解答。

我们知道∫arcsinx dx的积分结果是xarcsinx。然后，我们转向求解另一个积分∫x/√(1-x²) dx。为了解决这个问题，我们采用代换法，令t = 1 - x²，这样dt = -2x dx。通过这种方式，我们可以将原积分转化为一个更容易处理的形式。

计算这个新积分，我们得到-√t + C = -√(1 - x²) + C。将这个结果代入到分部积分公式中，我们得到arcsinx的原函数为xarcsinx + √(1 - x²) + C。为了验证这个结果，我们对这个结果进行求导，得到的导数与我们预期的arcsinx相匹配，这证明了我们的积分结果是正确的。

经过仔细的推导和验证，我们可以确认arcsinx的原函数是xarcsinx + √(1 - x²) + C。这个过程体现了数学的严谨性和逻辑的严密性，每一个步骤都需要精确无误，才能得出正确的结果。

这个结果并非简单的公式，而是包含了深厚的数学原理和逻辑推理。它展示了数学中的转化思想，通过代换、积分、求导等步骤，将复杂的问题转化为简单的问题，从而找到答案。这也体现了数学的魅力，通过深入的思考和严密的推理，我们可以解决看似复杂的问题。